空間を移動する粒子を想像してください。その位置は座標 $(x, y)$ の単なる集まりではなく、時間とともに展開される物語です。$y = f(x)$ のようなカルテシアン方程式は、経路の静的な「スナップショット」を提供しますが、しばしば 垂直線テスト 垂直線テストによって縛られ、自分自身と重複したり交差する物体を記述できません。
カルテシアン制約を超えてそこで、第三の要素である パラメータ $t$を導入します。この第三の独立変数として $x$ と $y$ を定義することで、曲線を解放し、運動や速度、ループや螺旋などの複雑な幾何学的形状を表現できるようになります。
1. 基本的な定義
平面上の運動を定義するには、$x$ と $y$ がともにパラメータ（通常は時間のための $t$ や角度のための $\theta$）に依存する2つの方程式を使用します。
- パラメータ： $x$ と $y$ が依存する第三の変数 $t$。
- パラメトリック方程式： パラメータの関数として $x$ と $y$ を定義する方程式 $x = f(t)$ および $y = g(t)$。
- パラメトリック曲線： パラメータがその定義域内で変化する際に描かれる点 $(x, y)$ の集合。
$x$ と $y$ のカルテシアン方程式は どこに 粒子がいた場所を示しますが、 いつ その粒子が特定の点にいた時を教えてくれません。一方、パラメトリック方程式は運動の「履歴」を保存します。
一般に、パラメトリック方程式 $x = f(t), y = g(t), a \le t \le b$ で表される曲線には 初期点 $(f(a), g(a))$ と 終点 $(f(b), g(b))$ があります。
2. 軌跡と向き
重要的是要區分 曲線 （幾何学的な点の集合）と パラメトリック曲線 （描かれる経路）。2つの方程式が同じグラフを生成しても、描画の速度や方向が異なる場合、物理的には異なる現実を表しています。
例：放物線の経路の表現
粒子が $y = x^2$ に沿って動くと仮定しましょう。これは複数の方法でパラメータ化できます：
- 一定速度： $x = t, y = t^2$。粒子は水平方向に一定の速度で移動します。
- 加速度： $x = t^3, y = t^6$。粒子は原点からゆっくり始め、$|t|$ が増すにつれて急速に加速します。
両方とも同じ「軌道」をカバーしていますが、2番目の粒子ははるかに高い速度と加速度を感じます。